泰勒公式-常用泰勒公式展开式（高中知识）

来源：互联网知识 2025-08-27 20:49:20 1

在这里面 Rn(x)叫做拉格朗日余项.

其实这里面泰勒公式的本质就是近似，也就是对于任意一个函数F(x)在x=x0处都可以近似于一个常数乘以幂函数作和来表示，但只要是近似就一定会有误差，泰勒展开项越多，误差就越小，而拉格朗日余项又表示泰勒展开与原式之间的误差，所以误差越小，拉格朗日余项就越趋近于0。

2.当F(x)在x=0处展开泰勒公式时得到麦克劳林公式：

当x→0时，Rn(x)是关于x^n的高阶无穷小，所以当｜x｜特别特别小的时候，拉格朗日余项又可以表示为：Rn(x)=o(x＾n) ，我们把o(x＾n)称为佩亚诺余项

3.那么到底如何去求一个函数的泰勒展开式呢？我们以题为例：

①首先要求出函数的n阶导数.

②再把x=0代入进去.

注：不同函数有不同的规律，在这里面当sinx导数为偶次阶导数时，结果都为零。所以只需找出奇次阶导数规律即可，由于正常情况下的最后一个导数是n阶的，无法确定奇偶性，为了体现规律性，我们一般最后一个取到2m＋1或2m-1，具体用哪个只要和项数对应起来即可.

我这里面是取到2m-1，因为不算f(0)这项的话m=1时正好是第一项，x的幂数也是一又正好对应着一阶导数，分母又正好是1的阶乘.

③最后把这些导数带入到麦克劳林公式中.

这里面最后sin中的θx看作一个锐角而(2m+1)/2一定是奇数，所以一定能变成cosθx，而系数取前几项即可找出规律.

到此一个函数的泰勒展开过程结束

4.下面给出常用的泰勒公式

——图片来自数分老师的学习通ppt

通过观察你会发现，他们各自的前几项不就是我们之前学过的等价无穷小吗？他和泰勒公式展开有什么联系呢？

5.等价无穷小与泰勒展开的关系：

①等价无穷小相比泰勒公式计算更简单一些，同样是近似于f(x)但相比泰勒公式展开误差会更大一些.

②高阶＋低阶~低阶

什么意思呢？我们以e＾x的泰勒展开为例：

首先要看等号右边，除了1以外都是无穷小，这里面x是最低阶的无穷小，剩下都可以看作高阶无穷小，所以高阶加低阶就等价于低阶，也就是e＾x~1+x(前提是x→0)

6.利用泰勒公式求极限：(用带佩亚诺余项的泰勒公式)

这类题的规律就是，把分子除了幂函数以外的地方分别泰勒展开，看他的分母中x的幂的次数，次数是n就把泰勒展开到第n＋1项，因为最前边有一项是f(0)

①分别求出e＾x和sinx的一到三阶导数

②因为x→0，即在x=0处的泰勒展开，所以把零带入到x中

③因为f(0)=1、g(0)=0，所以带有佩亚诺余项的前四项展开式为

④把他们代入原式中可得

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