解：令y=arctanx，则x=tany。
对x=tany这个方程“=”的两边同时对x求导，则
（x）=（tany）
1=sec2y*（y），则
（y）=1/sec2y
又tany=x，则sec2y=1+tan2y=1+x2
得，（y）=1/（1+x2）
即arctanx的导数为1/（1+x2）。
扩展资料：
1、导数的四则运算（u与v都是关于x的函数）
（1）（u±v）=u±v
（2）（u*v）=u*v+u*v
（3）（u/v）=（u*v-u*v）/v2
2、导数的基本公式
C=0（C为常数）、（x^n）=nx^(n-1)、（sinx）=cosx、（cosx）=-sinx、（tanx）=sec2x、（secx）=tanxsecx
3、求导例题
（1）y=4x^4+sinxcosx，则（y）=（4x^4+sinxcosx）
=（4x^4）+（sinxcosx）
=16x^3+（sinx）*cosx+sinx*（cosx）
=16x^3+cosx2x-sinx2x
=16x^3+cos2x
（2）y=x/（x+1），则（y）=（x/（x+1））
=（x*（x+1）-x*（x+1））/（x+1）2
=（（x+1）-x）/（x+1）2
=1/（x+1）2
设x=tany
tany=sex^y
arctanx=1/(tany)=1/sec^y
sec^y=1+tan^y=1+x^2
所以(arctanx)=1/(1+x^2)
对于双曲函数shx，chx，thx等以及反双曲函数arshx，archx，arthx等和其他较复杂的复合函数求导时通过查阅导数表和运用开头的公式与 4.y=u土v，y=u土v 5.y=uv，y=uv+uv 均能较快捷地求得结果。
扩展资料：
在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：
⒈(链式法则)y=f[g(x)]，y=f[g(x)]·g(x）『f[g(x)]中g(x）看作整个变量，而g(x）中把x看作变量』
2、 y=u*v，y=uv+uv(一般的leibniz公式)
3、y=u/v，y=（uv-uv）/v^2，事实上4.可由3.直接推得
4、（反函数求导法则）y=f(x）的反函数是x=g(y），则有y=1/x
正切函数y=tanx在开区间（x∈(-π/2，π/2)）的反函数，记作y=arctanx 或 y=tan-1x，叫做反正切函数。它表示(-π/2，π/2)上正切值等于 x 的那个唯一确定的角，即tan(arctan x)=x，反正切函数的定义域为R即(-∞，+∞)。反正切函数是反三角函数的一种。
由于正切函数y=tanx在定义域R上不具有一一对应的关系，所以不存在反函数。注意这里选取是正切函数的一个单调区间。而由于正切函数在开区间(-π/2，π/2)中是单调连续的，因此，反正切函数是存在且唯一确定的。
引进多值函数概念后，就可以在正切函数的整个定义域(x∈R，且x≠kπ+π/2，k∈Z)上来考虑它的反函数，这时的反正切函数是多值的，记为 y=Arctan x，定义域是(-∞，+∞)，值域是 y∈R，y≠kπ+π/2，k∈Z。于是，把 y=arctan x (x∈(-∞，+∞)，y∈(-π/2，π/2))称为反正切函数的主值，而把 y=Arctan x=kπ+arctan x (x∈R，y∈R，y≠kπ+π/2，k∈Z)称为反正切函数的通值。反正切函数在(-∞，+∞)上的图像可由区间(-π/2，π/2)上的正切曲线作关于直线 y=x 的对称变换而得到。
反正切函数的大致图像如图所示，显然与函数y=tanx，（x∈R）关于直线y=x对称，且渐近线为y=π/2和y=-π/2。
