[引言]
一直以来，笔者在高中数学的教学过程中刻意回避使用高等数学或者高等代数、高等几何的内容。但是随着题目难度的加深，以及近年来命题倾向的改变，尤其是在北京地区强调“多想少算”的思潮影响下，计划陆续推出一系列高中数学与大学课程衔接的内容。
[平面中点到直线的距离]
平面上点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离d为，
[空间中平面的方程]
设空间中平面α的法向量为(A,B,C)，且过点P(x0,y0,z0)，则该平面的方程为，
由于该方程利用平面上一点以及平面的法向量，所以被称为平面的点法式方程。
将上述方程展开，则得到平面的一般式方程，
其中，D=Ax0+By0+Cz0。
[空间中点到平面的距离]
类似平面中点到直线的距离公式，空间中点到平面的距离为d，
证明：在平面上任取一点P1(x1,y1,z1)。向量n为平面的法向量，向量P1P0与向量n的夹角为θ。则所求的距离为，
其中
于是，
由于点P1在平面上，所以
从而，
[应用1]求点(2,1,1)到平面x+y-z+1=0的距离。
[解析]根据点到平面的距离公式，
[应用2](2021年，北京西城一六一中学高三上学期期中，18)如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，M为BC的中点，且PB⊥AM。
（1）求BC的长；
（2）求二面角A-PM-B的余弦值；
（3）求点C到平面PAM的距离。
[解析]1）连接BD。由于PD⊥面ABCD，所以PD⊥AM。又因为PB⊥AM，PD∩PB=P，所以AM⊥面PDB。BD属于面PDB，因此AM⊥BD。
在矩形ABCD中，BD⊥AM。又因为AD⊥AB，所以∠ADB=∠MAB。从而△ADB∽△BAM，因此，
设BC=AD=x。由于AB=CD=1，所以
即BC=√2。
2）以点D为坐标原点，DA、DC、DP分别为x轴、y轴和z轴的正方向，建立空间直角坐标系D-xyz。
各点坐标如下：D(0,0,0)，A(√2,0,0)，C(0,1,0)，B(√2,1,0)，P(0,0,1)，M(√2/2,1,0)。
设面APM的法向量m=(x,y,z)，由于AM=(-√2/2,1,0)，PM=(√2/2,1,-1)，所以
设面BPM的法向量n=(u,v,w)，由于BM=(-√2/2,0,0)，PM=(√2/2,1,-1)，所以
设面APM与面BPM所成的二面角为φ，则
即值为3√14/14。
3）由2）可知，面PAM的一个法向量为(√2,1,2)，且点A(√2,0,0)。因此面PAM的方程为，
点C(0,1,0)，从而点C到面PAM的距离为，
即值为√7/7。
[练习1](2021年，北京第四中学高二上学期期中，17)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=1/2AB=1，M为CC1的中点。
（1）求平面A1BM与平面ABCD所成二面角的余弦值；
（2）求点D到平面A1BM的距离。
[答案]（1）4√21/21；（2）2√21/7。
[练习2](2021年，北京第八十中学高二上学期期中，20)如图，在直***柱ABC-A1B1C1中，AA1=AC=4，AB=3，BC=5，点D是线段BC的中点．
（1）求证：AB⊥A1C；
（2）试求二面角D-CA1-A的余弦值；
（3）求点B1到平面A1CD的距离。
[答案]（1）略；（2）2√34/17；（3）6√34/17。
[练习3](2021年，北京首师附高二上学期期中，19)如图，在***柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=2，AA1=2√2，且AC⊥CB，AA1⊥底面ABC，点E是AB中点．
（1）求证：BC1∥面A1CE；
（2）求二面角A1-CE-B的余弦值；
（3）求点B1到平面A1CE的距离。
[答案]（1）略；（2）-√5/5；（3）4√10/5。
[练习4](2021年，北京海淀高二上学期期中，19)在***锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2√3，M,N分别为AB,SB的中点。
（1）证明：AC⊥SB；
（2）求二面角N-CM-B的正切值大小；
（3）求点B到平面CMN的距离。
[答案]（1）略；（2）2√2；（3）4√2/3。
