An=（(n+1)-n)/n*(n+1)=1/n-1/(n+1)、An=1/n*(n+k)k为常数，给分子分母同乘以k，即duAn=k/k*n*(n+k)=(1/k)*(n+k-n)/(n*(n+k))=(1/k)*(1/n-1/(n+k))、An=1/n*(n+k)(n+2k)。

裂项相消公式:

（1）1/[n(n+1)]=（1/n）-[1/(n+1)]

（2）1/[(2n-1)(2n+1)]=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]

（3）1/[n(n+1)(n+2)]=1/2{1/[n(n+1)]-1/[(n+1)(n+2)]}

（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)

（5）n·n!=(n+1)!-n!

（6）1/[n(n+k)]=1/k[1/n-1/(n+k)]

（7）1/[√n+√（n+1）]=√（n+1）-√n

（8）1/（√n+√n+k）=（1/k）·[√（n+k）-√n]

2

裂项相消的例子

[例]求数列an=1/n(n+1)的前n项和.

解：设an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)（裂项）

则Sn=1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)（裂项求和）

＝1-1/(n+1)

＝n/(n+1)。